Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. высота равна 12 см, а диагональ - 20 см. вычислите площадь трапеции.

Для решения задачи найдем сначала основания трапеции, а затем вычислим её площадь.

Дано:

• Высота трапеции $h = 12$ см,
• Диагональ трапеции $d = 20$ см,
• Диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Обозначим длины оснований трапеции за $a$ и $b$. Боковые стороны равны, так как трапеция равнобедренная.

1. Связь между диагональю и высотой

Диагональ трапеции делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. В нём:

• Гипотенуза равна $d = 20$,
• Один катет равен высоте трапеции $h = 12$.

Из теоремы Пифагора найдем второй катет:

Этот катет равен половине разности оснований трапеции:

2. Найдём основания

Обозначим среднюю линию трапеции за $m$, она равна:

Средняя линия совпадает с длиной проекции диагонали на основание трапеции. Поскольку диагональ перпендикулярна боковой стороне, длина проекции диагонали равна $16$ (катет, найденный ранее). Значит, средняя линия тоже равна $m = 16$:

У нас также есть связь для разности оснований:

Решая систему $a + b = 32$ и $|a - b| = 32$, находим:

1. Если $a > b$, то $a = 32$ и $b = 0$.
2. Если $b > a$, то $b = 32$ и $a = 0$.

Так как $b \neq 0$ (у трапеции два основания), принимаем $a = 32$ и $b = 0$.

3. Найдём площадь

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

Подставляем известные значения:

Ответ:

Площадь трапеции равна 192 см².