В равнобедренной трапеции диагональ образует с основанием угол 30º.
Найдите углы трапеции, если известно, что меньшее основание
трапеции равно её боковой стороне
с полным объяснением, пожалуйста

Для решения данной задачи начнем с определения свойств равнобедренной трапеции и условий, которые нам даны.

Обозначим:

• $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее основание.
• $AD$ и $BC$ — боковые стороны трапеции, которые равны между собой.

Согласно условию задачи, мы знаем, что:

• Угол между диагональю $AC$ и основанием $CD$ равен $30^\circ$.
• Меньшее основание $CD$ равно боковой стороне $AD$ (или $BC$).

Далее, чтобы найти углы трапеции, воспользуемся свойствами углов и треугольников, образованных в данной фигуре.

1. Построим диагонали: Мы можем провести диагонали $AC$ и $BD$. Из-за симметрии равнобедренной трапеции мы знаем, что углы при основании $C$ и $D$ равны, и углы при основании $A$ и $B$ тоже равны.

2. Рассмотрим треугольник $ACD$: В этом треугольнике угол $CAD$ равен $30^\circ$, так как это угол между диагональю и основанием. Следовательно, угол $ACD$ можно найти следующим образом: Углы треугольника в сумме дают $180^\circ$. Обозначим угол $ACD$ как $x$. Тогда у нас есть:

   $$30^\circ + x + \angle ADC = 180^\circ$$

   Поскольку $AD = CD$, то $ACD$ является равнобедренным треугольником, и угол $ADC$ также равен $x$. Таким образом, мы можем записать:

   $$30^\circ + x + x = 180^\circ$$ $$30^\circ + 2x = 180^\circ$$ $$2x = 150^\circ$$ $$x = 75^\circ$$

3. Теперь найдем углы $DAB$: Углы $DAB$ и $CDA$ являются соседними, и их сумма также равна $180^\circ$:

   $$\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$$

   Так как $\angle ADC = x = 75^\circ$, то:

   $$\angle DAB + 75^\circ = 180^\circ$$ $$\angle DAB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$

4. Итак, подытожим углы трапеции:

   • Угол $DAB = 105^\circ$
   • Угол $ABC = 105^\circ$ (из-за симметрии)
   • Угол $CDA = 75^\circ$
   • Угол $BCD = 75^\circ$ (из-за симметрии)

Таким образом, углы равнобедренной трапеции $ABCD$ равны:

• $DAB = ABC = 105^\circ$
• $CDA = BCD = 75^\circ$

Эти результаты согласуются с условиями задачи и свойствами равнобедренной трапеции.