На стороне ВС параллелограмма АВСD взята точка М так,что АВ=ВМ.
Доказать,что АМ-биссектриса угла ВАD

Давайте подробно разберем, как доказать, что $AM$ является биссектрисой угла $\angle BAD$, если $ABCD$ — параллелограмм, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $AB = BM$.

1. Свойства параллелограмма

Для параллелограмма $ABCD$ известны следующие свойства:

• Противоположные стороны параллельны и равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.
• Углы, прилежащие к одной стороне, являются смежными.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2. Исходные данные

• $AB = BM$, что означает, что точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1:1$ (середина отрезка $AB$).
• Требуется доказать, что отрезок $AM$ делит угол $\angle BAD$ пополам, то есть $\angle BAM = \angle DAM$.

3. Доказательство

Шаг 1: Работа с углами

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то:

• $AB \parallel CD$,
• $AD \parallel BC$.

Рассмотрим углы $\angle BAM$ и $\angle DAM$:

• Угол $\angle BAM$ образуется сторонами $AB$ и $AM$.
• Угол $\angle DAM$ образуется сторонами $AD$ и $AM$.

Поскольку $AB = BM$ и $M$ является серединой стороны $AB$, точка $M$ симметрично расположена относительно точек $A$ и $B$.

Шаг 2: Использование свойств параллельности

Рассмотрим треугольник $\triangle BAM$:

• В этом треугольнике сторона $AM$ является общей.
• $AB = BM$ (по условию).

Это означает, что $\triangle BAM$ является равнобедренным, и углы при основании $AB$ равны:

Шаг 3: Симметрия углов

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADM$:

• В этом треугольнике $AM$ является общей стороной.
• Стороны $AD$ и $BM$ находятся в симметричном положении относительно угла $\angle BAD$ из-за равенства $AB = BM$ и параллельности $AB \parallel CD$.

Следовательно, углы $\angle BAM$ и $\angle DAM$ равны по симметрии углов, образованных параллельными линиями и их пересечением.

Шаг 4: Заключение

Мы доказали, что $\angle BAM = \angle DAM$, то есть отрезок $AM$ делит угол $\angle BAD$ пополам. Это означает, что $AM$ является биссектрисой угла $\angle BAD$.