В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB,угол ADB=BDC=30 градусов.Найдите длину АD,если периметр трапеции равен 60см?(С чертежом)

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — боковые стороны, $AB \parallel CD$. Диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $AB$, а углы $\angle ADB = \angle BDC = 30^\circ$. Периметр трапеции равен $60 \, \text{см}$. Требуется найти длину $AD$.

1. Разберём условия

• Пусть длина $AB = a$, длина $CD = b$, длина $AD = x$, и длина $BC = y$.
• Угол $\angle ADB = 30^\circ$ говорит о том, что в $\triangle ADB$ сторона $AD$ может быть выражена через $BD$ с использованием тригонометрических функций.
• Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: $$P = AB + BC + CD + AD = a + y + b + x = 60.$$

2. Построим чертёж

Представим трапецию:

1. Постройте $AB \parallel CD$, где $AB$ короче $CD$.
2. Проведите диагональ $BD$, которая перпендикулярна $AB$.
3. Отметьте угол $\angle ADB = \angle BDC = 30^\circ$.

3. Разберём треугольники

В трапеции есть два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$.

1. В $\triangle ADB$:

   • $\angle ADB = 30^\circ$,
   • $AB$ — катет, $BD$ — другой катет, $AD$ — гипотенуза.
   • Из свойств треугольника $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$: гипотенуза ($AD$) в 2 раза больше меньшего катета ($BD$).
   $$AD = 2 \cdot BD.$$

2. В $\triangle BDC$:

   • $\angle BDC = 30^\circ$,
   • $CD$ — гипотенуза, $BD$ — меньший катет.
   • Из тех же свойств: $CD = 2 \cdot BD$.

4. Выражаем все стороны через $BD$

Обозначим длину диагонали $BD = h$.

• $AD = 2h$ (из $\triangle ADB$),
• $CD = 2h$ (из $\triangle BDC$),
• $AB = h$ (из свойства $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$),
• $BC = h$ (из $\triangle BDC$).

5. Периметр

Периметр трапеции:

Подставим $P = 60$:

6. Длина $AD$

Подставим $h = 10$ в выражение для $AD$:

Ответ:

Длина $AD = 20 \, \text{см}$.