Внутри треугольника ABC со сторонами BC=a, AC=b, AB=c выбрана точка M так, что ∠AMB=∠BMC=∠CMA. a=9, b=4, c=6.
Найдите сумму квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

В данном вопросе рассматривается треугольник ABC, внутри которого находится точка M, такая что ∠AMB = ∠BMC = ∠CMA, то есть точка M является центром равномерных углов, или центроидом треугольника. Это свойство указывает, что точка M — это центр масс треугольника, который делит его на три равных части.

Для того чтобы найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника, мы можем воспользоваться следующим важным результатом из геометрии: если в треугольнике ABC точка M — это точка, из которой углы между соединениями точек A, B, C равны (то есть точка M является центром масс треугольника), то сумма квадратов расстояний от M до вершин треугольника может быть найдена по следующей формуле:

Где $a$, $b$, $c$ — это длины сторон треугольника ABC.

В нашем случае:

• $a = 9$
• $b = 4$
• $c = 6$

Теперь подставим значения в формулу:

Вычитаем квадраты сторон:

Поскольку в задаче просят округлить результат до ближайшего целого, то ответ будет:

Таким образом, сумма квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника составляет 44.