Через точку О, не
лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает
плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m –
в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1:ОВ2 = 3 :
5. с рисунком

Для решения задачи начнем с анализа условий и построения чертежа.

Дано:

1. Точка $O$ не лежит между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
2. Через точку $O$ проведены две прямые: $l$ и $m$.
3. Прямая $l$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно.
4. Прямая $m$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно.
5. Длина отрезка $A_2B_2 = 15$ см.
6. Отношение $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{5}$.

Нужно найти длину отрезка $A_1B_1$.

Решение:

1. Используем параллельность плоскостей: Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$, проведенные через точки их пересечения с прямыми $l$ и $m$, также будут параллельны.

2. Отношение отрезков на прямой $m$: Отношение $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{5}$ означает, что точка $O$ делит отрезок $B_1B_2$ в отношении $3:5$. Это позволяет выразить длины отрезков $OB_1$ и $OB_2$ через общую длину $B_1B_2$.

3. Введение обозначений для отрезков: Пусть длина отрезка $B_1B_2 = x$. Тогда $OB_1 = \frac{3}{3+5} \cdot x = \frac{3}{8}x$ и $OB_2 = \frac{5}{8}x$.

4. Использование подобия треугольников: Поскольку плоскости параллельны, треугольники $A_1B_1O$ и $A_2B_2O$ подобны. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{5}$.

5. Нахождение длины отрезка $A_1B_1$: Поскольку $A_2B_2 = 15$ см и коэффициент подобия треугольников равен $\frac{3}{5}$, длина отрезка $A_1B_1$ будет равна:

   $$A_1B_1 = A_2B_2 \cdot \frac{3}{5} = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9 \text{ см}.$$

Ответ:

Длина отрезка $A_1B_1$ равна $9$ см.