Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8см, а боковое ребро-10см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно учитывать ее геометрию. В правильной четырехугольной пирамиде основание представляет собой квадрат, а боковые грани — треугольники.

1. Определение параметров:

   • Высота пирамиды (h) = 8 см.
   • Боковое ребро (l) = 10 см.

2. Нахождение длины стороны основания: Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Обозначим длину стороны основания квадрата как $a$. В каждой боковой грани, которая является равнобедренным треугольником, основание — это сторона квадрата $a$, а высота этого треугольника будет равна высоте боковой грани, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора.

   Для треугольника, состоящего из высоты пирамиды и половины стороны квадрата, можно записать:

   $$l^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$10^2 = 8^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$$

   Это упростится до:

   $$100 = 64 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$$ $$100 - 64 = \left( \frac{a}{2} \right)^2$$ $$36 = \left( \frac{a}{2} \right)^2$$

   Теперь извлекаем квадратный корень:

   $$\frac{a}{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 12 \text{ см}$$

3. Нахождение площади боковой поверхности: Площадь боковой поверхности состоит из четырех равнобедренных треугольников. Площадь одного треугольника (S) можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times a \times h_t$$

   где $h_t$ — высота бокового треугольника. Высота бокового треугольника равна $\sqrt{l^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}$:

   $$h_t = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

   Теперь можно вычислить площадь одного бокового треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ см}^2$$

   Поскольку у нас четыре такие грани, общая площадь боковой поверхности (P) будет:

   $$P = 4 \times S = 4 \times 48 = 192 \text{ см}^2$$

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 192 см².