В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 4 см а боковое ребро равно 5см

Ответы на вопрос

Отвечает Кравчук Максим.

Для решения задачи о правильной треугольной пирамиде SABC с заданными параметрами (сторона основания 4 см и боковое ребро 5 см) нужно выполнить несколько шагов, чтобы найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

1. Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из трех треугольных боковых граней. Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти площадь одного бокового треугольника и затем умножить на количество боковых граней (их 3).

Шаг 1.1: Определение высоты бокового треугольника

Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 5 см и основанием 4 см (сторона основания пирамиды).

Чтобы найти высоту этого треугольника, нужно провести из вершины треугольника перпендикуляр к основанию. Этот перпендикуляр разделит основание на две равные части, то есть длина каждого из получившихся отрезков основания будет равна 2 см.

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $h_{бок}$ этого треугольника:

h_{бок}^2 + 2^2 = 5^2

h_{бок}^2 + 4 = 25

h_{бок}^2 = 21

h_{бок} = \sqrt{21} \approx 4.58 \, \text{см}

Шаг 1.2: Площадь одного бокового треугольника

Площадь одного бокового треугольника можно найти по формуле для площади треугольника:

S_{бок.треуг} = \frac{1}{2} \times основание \times высота

Подставляем значения:

S_{бок.треуг} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4.58 \approx 9.16 \, \text{см}^2

Шаг 1.3: Площадь всей боковой поверхности

Площадь всей боковой поверхности пирамиды равна площади одного бокового треугольника, умноженной на 3 (так как боковых граней 3):

S_{бок.пов} = 3 \times 9.16 \approx 27.48 \, \text{см}^2

2. Объем пирамиды

Для вычисления объема правильной треугольной пирамиды нужно знать площадь основания и высоту пирамиды.

Шаг 2.1: Площадь основания

Основание пирамиды — это правильный треугольник со стороной 4 см. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2

где $a = 4 \, \text{см}$ .

Подставляем значение:

S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 \approx 6.93 \, \text{см}^2

Шаг 2.2: Высота пирамиды

Для нахождения высоты пирамиды нужно использовать прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковое ребро (5 см), одной катетой — это радиус описанной окружности основания, а второй катетой — высота пирамиды.

Радиус описанной окружности правильного треугольника можно найти по формуле:

R = \frac{a \sqrt{3}}{3}

где $a = 4 \, \text{см}$ :

R = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \approx 2.31 \, \text{см}

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 5 см и катетами $h_{пирамиды}$ и $R$ , найдем высоту пирамиды:

h_{пирамиды}^2 + 2.31^2 = 5^2

h_{пирамиды}^2 + 5.34 = 25

h_{пирамиды}^2 = 19.66

h_{пирамиды} = \sqrt{19.66} \approx 4.43 \, \text{см}

Шаг 2.3: Объем пирамиды

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле:

V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h_{пирамиды}

Подставляем найденные значения:

V = \frac{1}{3} \times 6.93 \times 4.43 \approx 10.25 \, \text{см}^3

Ответ:

Площадь боковой поверхности пирамиды составляет примерно 27.48 см².
Объем пирамиды составляет примерно 10.25 см³.