Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найти угол между прямыми а) AC и B1D1, б) DM и CB1, где M середина ребра BB1.

Рассмотрим решение каждой части задачи подробно.

Задание (а): Угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$

1. Расположение точек куба

Предположим, что куб задан в трёхмерной декартовой системе координат:

• $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$ — нижняя грань,
• $A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$ — верхняя грань.

Прямая $AC$ проходит через $A(0, 0, 0)$ и $C(1, 1, 0)$, а прямая $B_1D_1$ проходит через $B_1(1, 0, 1)$ и $D_1(0, 1, 1)$.

2. Направляющие векторы

Направляющий вектор прямой $AC$:

Направляющий вектор прямой $B_1D_1$:

3. Косинус угла между векторами

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

• Скалярное произведение:

• Модули векторов:

Подставим зна