ABCD-квадрат.Отрезок MD перпендикулярен к плоскости ABC.докажите,что MB перпендикулярен AC

Для решения задачи докажем, что $MB \perp AC$, используя свойства перпендикуляров и геометрических фигур.

Условие

Дано:

• $ABCD$ — квадрат.
• $MD$ — отрезок, перпендикулярный плоскости $ABC$.
• Требуется доказать, что $MB \perp AC$.

Анализ задачи

1. Квадрат $ABCD$:

   • В квадрате все стороны равны, углы прямые ($90^\circ$).
   • Диагонали $AC$ и $BD$ равны, пересекаются в точке $O$ (центре квадрата), и делят друг друга пополам. Также диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

2. Перпендикуляр $MD$:

   • $MD$ перпендикулярен плоскости $ABC$, что означает, что $MD \perp AC$, $MD \perp AB$, и $MD \perp BC$.

Доказательство

1. Рассмотрим треугольник $\triangle MBC$:

   • $MD \perp AC$, следовательно, все проекции точки $M$ на плоскость $ABC$ находятся в центре квадрата $O$ (точка пересечения диагоналей).

2. Положение отрезка $MB$:

   • $MB$ соединяет точку $M$ с вершиной $B$ квадрата.

3. Свойство диагонали $AC$:

   • Диагональ $AC$ лежит в плоскости $ABC$.
   • $AC$ пересекает $MB$ под прямым углом, так как $MD$ перпендикулярен плоскости $ABC$.

4. Свойство перпендикуляра к плоскости:

   • Если прямая (в данном случае $MD$) перпендикулярна плоскости, то любая прямая, проходящая через точку пересечения $MD$ с плоскостью, также будет перпендикулярна любым прямым, лежащим в этой плоскости.

5. Заключение:

   • Так как $MD \perp AC$, и $MB$ лежит на $MD$, следовательно, $MB \perp AC$ по свойству перпендикуляра.

Таким образом, доказано, что $MB \perp AC$.