Найдите площадь поверхности детали в форме правильной четы- рехугольной усеченной пирамиды, стороны

Ответы на вопрос

Отвечает Симашко Егор.

Для того чтобы найти площадь поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, нужно вычислить площадь её боковой поверхности и площади оснований, а затем сложить их.

1. Формулы и обозначения:

Основания — это два квадрата, потому что мы имеем правильную четырёхугольную усечённую пирамиду.
Пусть $a_1 = 1$ — длина стороны меньшего квадрата, $a_2 = 2$ — длина стороны большего квадрата.
Боковые ребра (от вершины пирамиды до углов оснований) имеют длину 1.

2. Площадь основания:

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

S_{\text{основания}} = a^2

Площадь меньшего основания:

S_1 = a_1^2 = 1^2 = 1

Площадь большего основания:

S_2 = a_2^2 = 2^2 = 4

3. Площадь боковой поверхности:

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, нужно найти площадь каждого из боковых треугольников. Эти треугольники имеют общую высоту, равную длине бокового ребра (1), и основания, которые равны разнице между длинами сторон большего и меньшего квадратов (это расстояние между двумя точками соответствующих углов).

3.1. Нахождение высоты бокового треугольника:

Каждый боковой треугольник имеет основание, равное разности сторон квадратов (2 - 1 = 1), а боковое ребро является его гипотенузой (длина 1). Мы можем найти высоту треугольника с помощью теоремы Пифагора.

Предположим, что высота бокового треугольника — это $h_{\text{боковой}}$ . Тогда в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна 1, а катет, соответствующий разности оснований, равен $\frac{1}{2}$ , применим теорему Пифагора:

h_{\text{боковой}}^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1^2

h_{\text{боковой}}^2 + \frac{1}{4} = 1

h_{\text{боковой}}^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

h_{\text{боковой}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

3.2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности состоит из 4 таких треугольников, так как у пирамиды 4 боковых грани (все боковые грани — это одинаковые равнобедренные треугольники).

Площадь одного бокового треугольника можно вычислить по формуле площади треугольника:

S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}

где основание — это разность сторон оснований пирамиды, равная 1, а высота — это $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Тогда площадь одного бокового треугольника:

S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}

Площадь всех четырёх боковых треугольников:

S_{\text{боковой поверхности}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}

4. Общая площадь поверхности:

Теперь, чтобы найти общую площадь поверхности усечённой пирамиды, нужно сложить площади оснований и площади боковых треугольников:

S_{\text{поверхности}} = S_1 + S_2 + S_{\text{боковой поверхности}} = 1 + 4 + \sqrt{3}

Ответ:

S_{\text{поверхности}} = 5 + \sqrt{3}

Это и есть площадь поверхности данной усечённой пирамиды.