В окружности с центром в точке O проведена хорда AB. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 4√3. При этом угол OAB равен 30°. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и треугольников. У нас есть окружность с центром в точке $O$, хорда $AB$, центральный угол $\angle AOB$, длина хорды $AB = 4\sqrt{3}$ и угол $\angle OAB = 30^\circ$. Нужно найти радиус окружности $R$.

1. Использование треугольника OAB
   Треугольник $OAB$ — это равнобедренный треугольник, так как $OA = OB = R$ (радиусы окружности). Угол $\angle OAB = 30^\circ$, это означает, что угол $\angle OBA = 30^\circ$ (по свойству равнобедренного треугольника).

2. Центральный угол и дуга
   Центральный угол $\angle AOB$ в два раза больше угла $\angle OAB$ (это свойство углов окружности). То есть:

   $$\angle AOB = 2 \times \angle OAB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$$

3. Использование формулы длины хорды
   Длина хорды $AB$ может быть найдена через радиус окружности и центральный угол с помощью следующей формулы:

   $$AB = 2R \sin \left( \frac{\angle AOB}{2} \right)$$

   Подставляем $\angle AOB = 60^\circ$:

   $$AB = 2R \sin \left( \frac{60^\circ}{2} \right) = 2R \sin 30^\circ$$

   Известно, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, следовательно:

   $$AB = 2R \times \frac{1}{2} = R$$

   То есть, длина хорды $AB$ равна радиусу $R$.

4. Сравнение с данным значением хорды
   В задаче сказано, что длина хорды $AB = 4\sqrt{3}$. Таким образом, мы можем записать:

   $$R = 4\sqrt{3}$$

Итак, радиус окружности $R = 4\sqrt{3}$.