В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ. Центральный угол АОВ опиратся на хорду АВ длиной 13, при этом угол ОАВ равен 60 градусам. Найдите радиус окружности.

Чтобы найти радиус окружности, воспользуемся геометрическими и тригонометрическими соотношениями. Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

1. Окружность с центром $O$.
2. Хорда $AB$ длиной $13$.
3. Угол $\angle OAB = 60^\circ$.
4. Найти радиус окружности $R$.

Разбор задачи:

1. Анализ задачи: Угол $\angle OAB$ является углом между радиусом $OA$ и прямой, соединяющей центр $O$ с одной из концов хорды $A$. Центральный угол $\angle AOB$ будет равен $2 \times \angle OAB = 120^\circ$ (по свойству центрального и вписанного углов).

2. Положение хорды: Пусть $O$ — центр окружности, а $AB$ — хорда. Радиусы $OA$ и $OB$ равны $R$. Соединим точку $O$ с серединой хорды $AB$, обозначив её как $M$. Отрезок $OM$ является перпендикуляром к хорде $AB$ и делит её пополам.

   Тогда:

   $$AM = BM = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5.$$

3. Рассмотрим треугольник $OMA$: В треугольнике $OMA$:

   • $OM$ — высота из точки $O$ на хорду $AB$.
   • $OA = R$ (радиус).
   • $AM = 6.5$.

   Угол $\angle OAM = 60^\circ$.

4. Используем косинус угла $\angle OAM$: По определению косинуса в треугольнике:

   $$\cos(60^\circ) = \frac{AM}{OA}.$$

   Подставляем значения:

   $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad AM = 6.5, \quad OA = R.$$

   Получаем:

   $$\frac{1}{2} = \frac{6.5}{R}.$$

   Отсюда:

   $$R = 6.5 \cdot 2 = 13.$$

5. Проверка:
   Радиус окружности действительно равен $R = 13$, что согласуется со всеми геометрическими соотношениями.

Ответ:

Радиус окружности равен $\mathbf{13}$.