Окружность радиуса корня 3, вписанная в прямоугольный треугольник АВС с углом А равному 30 градусам, касается катета АС с точке К. Найти ВК.

Для решения задачи, давайте разобьём её на несколько шагов.

1. Геометрия задачи:

У нас есть прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $A = 30^\circ$. Окружность, вписанная в этот треугольник, касается катета $AC \ в точке K$.

2. Свойства окружности, вписанной в треугольник:

Окружность, вписанная в треугольник, касается всех трёх сторон треугольника. Радиус этой окружности обозначим через $r$, и он равен $\sqrt{3}$, как указано в задаче.

3. Обозначения:

Пусть длины катетов треугольника $ABC$ равны:

• $a = BC$ (катет),
• $b = AB$ (катет),
• $c = AC$ (гипотенуза).

Так как угол $A = 30^\circ$, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы выразить длины сторон через одну переменную, например, через длину катета $AC$.

4. Важная формула для радиуса вписанной окружности:

Радиус $r$ вписанной окружности треугольника можно найти через его площадь и полупериметр. Формула выглядит так:

где:

• $S$ — площадь треугольника,
• $p$ — полупериметр треугольника.

5. Площадь треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле для площади прямоугольного треугольника:

6. Полупериметр:

Полупериметр треугольника — это половина суммы его сторон:

7. Дополнительные соотношения:

Для треугольника с углом 30°, мы можем использовать свойства углов и катетов:

• $AB = BC \cdot \tan(30^\circ)$,
• $AC = BC \cdot \sec(30^\circ)$.

Подставив эти значения в уравнение для радиуса и площади, мы можем найти нужные длины сторон и рассчитать точку касания.

8. Ответ:

В конце концов, находя точку касания $K$, и используя геометрические свойства, мы определим, что длина отрезка $BK$ равна $\frac{AC}{2}$.