ABCD квадрат. Вне плоскости квадрата выбрана точка K,причем KA перпендикулярна AB.Докажите , что прямая AB перпендикуляр на плоскости AKD

Задача заключается в доказательстве того, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $AKD$, при условии, что точка $K$ находится вне плоскости квадрата $ABCD$, и $KA$ перпендикулярна $AB$.

Разбор задачи

1. Условия задачи:

   • Квадрат $ABCD$ расположен в некоторой плоскости (например, в плоскости $xy$).
   • Точка $K$ находится вне плоскости квадрата, то есть точка $K$ не лежит на плоскости квадрата.
   • Отрезок $KA$ перпендикулярен отрезку $AB$, то есть угол между векторами $\overrightarrow{KA}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен 90 градусам.

2. Цель доказательства: Необходимо показать, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $AKD$, то есть угол между прямой $AB$ и плоскостью $AKD$ равен 90 градусам.

Шаги доказательства

1. Векторное представление точек и векторов: Пусть координаты точек квадрата $A, B, C, D$ в плоскости $xy$ следующие (для простоты):

   • $A(0, 0, 0)$,
   • $B(a, 0, 0)$,
   • $C(a, a, 0)$,
   • $D(0, a, 0)$.

   Точка $K$ находится вне этой плоскости, и её координаты можно обозначить как $K(0, 0, h)$, где $h \neq 0$.

2. Перпендикулярность $KA$ и $AB$: Условие задачи утверждает, что $KA \perp AB$. Вектор $\overrightarrow{KA}$ будет равен $\langle 0-0, 0-0, h-0 \rangle = \langle 0, 0, h \rangle$, а вектор $\overrightarrow{AB}$ — это $\langle a-0, 0-0, 0-0 \rangle = \langle a, 0, 0 \rangle$.

   Так как $\overrightarrow{KA} \perp \overrightarrow{AB}$, их скалярное произведение равно нулю:

   $$\overrightarrow{KA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + h \cdot 0 = 0.$$

   Таким образом, это условие выполняется.

3. Плоскость $AKD$: Плоскость $AKD$ определяется тремя точками: $A$, $K$, и $D$. Для того чтобы найти нормаль к этой плоскости, нужно вычислить векторы, лежащие в плоскости. Рассмотрим два вектора:

   • $\overrightarrow{AK} = \langle 0, 0, h \rangle$,
   • $\overrightarrow{AD} = \langle 0, a, 0 \rangle$.

   Векторное произведение этих двух векторов будет нормалью плоскости $AKD$:

   $$\overrightarrow{AK} \times \overrightarrow{AD} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & h \\ 0 & a & 0 \end{matrix} \right| = \mathbf{i} (0 - 0) - \mathbf{j} (0 - 0) + \mathbf{k} (0 - 0) = \langle -ah, 0, 0 \rangle.$$

   Таким образом, нормаль к плоскости $AKD$ — это вектор $\langle -ah, 0, 0 \rangle$.

4. Перпендикулярность прямой $AB$ и плоскости $AKD$: Для того чтобы показать, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $AKD$, нужно доказать, что вектор, направленный вдоль прямой $AB$ (то есть вектор $\overrightarrow{AB} = \langle a, 0, 0 \rangle$), перпендикулярен нормали к плоскости $AKD$