На рисунке 17 изображена трапеция ABCD, у которой боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC. Через вершину B проведена прямая BF, перпендикулярная прямой BC. Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости ABF.

Докажем, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ABF$.

Шаг 1: Рассмотрим условия

1. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где боковая сторона $AB$ перпендикулярна обоим основаниям, т.е. $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$.
2. Проведена прямая $BF$, перпендикулярная $BC$.

Наша цель — доказать, что $BC$ перпендикулярна плоскости $ABF$, что означает, что прямая $BC$ должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Шаг 2: Доказательство перпендикулярности

Плоскость $ABF$ содержит две пересекающиеся прямые:

• Прямую $AB$.
• Прямую $BF$.

Нам нужно показать, что $BC$ перпендикулярна обеим этим прямым.

1. Доказательство $BC \perp AB$

По условию, боковая сторона $AB$ перпендикулярна обоим основаниям $AD$ и $BC$. Это означает:

Таким образом, $BC$ действительно перпендикулярна одной из прямых, лежащих в плоскости $ABF$.

2. Доказательство $BC \perp BF$

По условию задачи, $BF$ проведена перпендикулярно $BC$, то есть:

Следовательно, $BC$ также перпендикулярна другой прямой, лежащей в плоскости $ABF$.

Шаг 3: Заключение

Так как прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BF$, которые лежат в одной плоскости $ABF$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что:

Вывод

Мы доказали, что прямая $BC$ действительно перпендикулярна плоскости $ABF$.