Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; 4), B(1; – 1), C(2; – 4). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Чтобы найти координаты вершины параболы, проходящей через точки $A(0; 4)$, $B(1; -1)$, и $C(2; -4)$, представим её уравнение в общем виде:

1. Составим систему уравнений

Подставим координаты точек $A(0; 4)$, $B(1; -1)$, $C(2; -4)$ в уравнение:

1. Для точки $A(0; 4)$:

   $$4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 4$$

2. Для точки $B(1; -1)$:

   $$-1 = a(1)^2 + b(1) + c \implies -1 = a + b + 4 \implies a + b = -5$$

3. Для точки $C(2; -4)$:

   $$-4 = a(2)^2 + b(2) + c \implies -4 = 4a + 2b + 4 \implies 4a + 2b = -8 \implies 2a + b = -4$$

2. Решим систему уравнений

Из уравнений $a + b = -5$ и $2a + b = -4$ вычтем первое из второго:

Подставим $a = 1$ в $a + b = -5$:

Таким образом, уравнение параболы:

3. Найдём координаты вершины

Координаты вершины параболы находятся по формулам:

Подставим значения $a = 1$ и $b = -6$:

Теперь найдём $y_{\text{в}}$, подставив $x = 3$ в уравнение $y = x^2 - 6x + 4$:

Ответ:

Координаты вершины параболы: $(3; -5)$.