От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 82, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Для решения задачи, давайте разберемся поэтапно:

1. Объем исходной пирамиды

Пусть у нас есть треугольная пирамида, объем которой равен 82. Это объем целой пирамиды.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

где:

• $V$ — объем пирамиды,
• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды,
• $h$ — высота пирамиды.

2. Характеристика отсеченной пирамиды

Отсекаем часть пирамиды, используя плоскость, проходящую через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Средняя линия основания — это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника основания.

• Эта плоскость делит пирамиду на две части.
• Плоскость проходит через вершину пирамиды, что означает, что новая отсеченная пирамида будет похожа на исходную и будет уменьшенной версией исходной пирамиды.
• С учетом того, что эта плоскость проходит через середины сторон основания, можно заключить, что отсеченная пирамида будет иметь те же пропорции, что и исходная пирамида.

3. Сжимаемость пирамиды

Так как отсеченная пирамида — это подобная уменьшенная копия исходной, то все линейные размеры (в том числе высота и длина сторон основания) будут уменьшены в одинаковую пропорцию. Эта пропорция равна $\frac{1}{2}$, так как плоскость проходит через середины сторон основания, что означает, что отношение высоты отсеченной пирамиды к высоте исходной — тоже $\frac{1}{2}$.

4. Объем отсеченной пирамиды

Когда все линейные размеры уменьшаются в два раза, объем уменьшается в три раза (так как объем пропорционален кубу линейных размеров).

Следовательно, объем отсеченной пирамиды будет:

Так как объем исходной пирамиды $V_{\text{целая}} = 82$, получаем:

Ответ

Объем отсеченной треугольной пирамиды равен 10.25.