В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=4 дм, AD=8 проведены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне. Определите, на какие части делится площадь прямоугольника этими биссектрисами.

Чтобы найти, на какие части делится площадь прямоугольника биссектрисами углов, прилежащих к большей стороне $AD = 8$, давайте подробно разберем задачу.

1. Исходные данные и обозначения

• Прямоугольник $ABCD$, где $AB = 4$ дм и $AD = 8$ дм.
• Биссектрисы $\angle BAD$ и $\angle CDA$ проведены.
• Биссектрисы делят углы пополам и пересекаются внутри прямоугольника.

Наша цель — определить, как биссектрисы делят площадь прямоугольника.

2. Уравнения биссектрис

Биссектрисы углов прямоугольника можно рассматривать как прямые, которые начинаются из углов и делят углы пополам. Так как прямоугольник ориентирован вдоль координатных осей, примем $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $D(0, 8)$, $C(4, 8)$.

Биссектриса $\angle BAD$:

• Угол $\angle BAD$ делится на два равных угла.
• Уравнение прямой будет $y = 2x$, так как она проходит через вершину $A(0, 0)$ и угол между сторонами $AD$ и $AB$ делится пополам.

Биссектриса $\angle CDA$:

• Угол $\angle CDA$ также делится пополам.
• Уравнение этой прямой можно записать как $y = -2x + 16$, поскольку она проходит через вершину $D(0, 8)$ и делит угол между сторонами $AD$ и $CD$ пополам.

3. Точка пересечения биссектрис

Для нахождения точки пересечения биссектрис решим систему уравнений:

Приравняем правые части:

Подставим $x = 4$ в одно из уравнений, например, $y = 2x$:

Итак, биссектрисы пересекаются в точке $(4, 8)$.

4. Области, на которые делится прямоугольник

Биссектрисы делят прямоугольник на три треугольника и один четырехугольник:

1. Треугольник $AEF$, где $E$ — точка пересечения биссектрис, $F$ — точка пересечения биссектрисы $\angle CDA$ с $AB$.
2. Треугольник $DEF$, где $F$ определяется выше.
3. Треугольник $BFC$, где $C$ — вершина прямоугольника.
4. Четырехугольник $EFBC$.

Координаты точек

• $F$ — точка пересечения биссектрисы $\angle CDA$ с $AB$. Подставим $y = 0$ в уравнение $y = -2x + 16$:

  $$0 = -2x + 16 \quad \Rightarrow \quad x = 8.$$

  Значит, $F(8, 0)$.

• $E(4, 8)$ — точка пересечения биссектрис, уже найдена.

5. Площади частей

Площадь треугольника $AEF$:

Используем формулу площади треугольника:

Для $AEF$:

• Основание $AF = 8$ (расстояние по оси $x$).
• Высота $y_E = 8$ (расстояние по оси $y$).

Площадь треугольника $DEF$:

Аналогично, для $DEF$:

• Основание $DF = 8$.
• Высота $y_E - y_D = 8 - 0 = 8$.

Площадь треугольника $BFC$:

Для $BFC$:

• Основание $BC = 4$.
• Высота $y_F = 0$ (расстояние по оси $y$).

Площадь четырехугольника $EFBC$:

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $4 \cdot 8 = 32$. Вычтем из неё площади треугольников: