BO-перпендикуляр к плоскости α, ВА и ВС наклонные, ОА и ОС их проекции на плоскость α, причем сумма их длин равна 24см. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ=4√6см и ВС=12√2

Чтобы найти расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, воспользуемся геометрическими свойствами наклонных и их проекций на плоскость. Разберём задачу по шагам:

Условие:

• $BO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.
• $BA$ и $BC$ — наклонные.
• $OA$ и $OC$ — проекции наклонных $BA$ и $BC$ на плоскость $\alpha$.
• Длины $OA + OC = 24 \, \text{см}$.
• Даны длины наклонных: $$AB = 4\sqrt{6} \, \text{см}, \, BC = 12\sqrt{2} \, \text{см}.$$

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, то есть длину перпендикуляра $BO$.

Шаг 1. Основная формула для наклонной

Для любой наклонной справедлива связь:

где $l$ — длина наклонной, $h$ — длина перпендикуляра $BO$, $d$ — длина проекции наклонной на плоскость.

Для двух наклонных $BA$ и $BC$ имеем:

1. Для $BA$:

2. Для $BC$:

Шаг 2. Подставим данные и упростим уравнения

1. Для $BA$:

2. Для $BC$:

Обозначим $BO^2 = h^2$. Тогда:

Шаг 3. Условие суммы проекций

По условию задачи $OA + OC = 24$. В квадрате это даст:

Раскроем скобки:

Подставим выражения для $OA^2$ и $OC^2$:

Упростим:

Шаг 4. Выразим длины проекций

Из основного условия $OA + OC = 24$, выразим $OC$ как $OC = 24 - OA$. Подставим в произведение $OA \cdot OC$: