Биссектриса угла между диагоналями ромба образует со стороной угол 75 градусов. Найдите периметр

Ответы на вопрос

Отвечает Алмаз Жумабек.

Давайте решим задачу пошагово:

Даны: ромб, биссектриса угла между диагоналями, угол между биссектрисой и стороной $75^\circ$ , меньшая диагональ $d_1 = 10 \, \text{см}$ .
Требуется найти периметр ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
Биссектриса угла между диагоналями делит этот угол пополам.

Обозначим стороны ромба как $a$ , а большую диагональ как $d_2$ .

Диагонали ромба делят его на 4 прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников:

Угол между диагоналями делится биссектрисой пополам. Если угол между биссектрисой и стороной составляет $75^\circ$ , то угол между диагоналями равен:

2 \times 75^\circ = 150^\circ

Следовательно, в треугольнике между сторонами:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами:

Используем основной треугольник с углом $15^\circ$ . В треугольнике:

\tan(15^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\frac{d_1}{2}}{\frac{d_2}{2}}

Подставим значения:

\tan(15^\circ) = \frac{5}{\frac{d_2}{2}} = \frac{10}{d_2}

Значение $\tan(15^\circ) \approx 0.2679$ . Отсюда:

0.2679 = \frac{10}{d_2} \implies d_2 = \frac{10}{0.2679} \approx 37.33 \, \text{см}.

Теперь в прямоугольном треугольнике сторона ромба $a$ (гипотенуза) найдется по теореме Пифагора:

a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2

Подставим:

a^2 = 5^2 + \left(\frac{37.33}{2}\right)^2 = 25 + 18.665^2 = 25 + 348.27 = 373.27

a = \sqrt{373.27} \approx 19.32 \, \text{см}.

Периметр ромба $P$ равен $4a$ :

P = 4 \times 19.32 \approx 77.28 \, \text{см}.

Периметр ромба равен 77.28 см.

Биссектриса угла между диагоналями ромба образует со стороной угол 75 градусов. Найдите периметр ромба,если меньшая диагональ равна 10 см