Хорды MN и KZ окружности пересекаются в точке A причем хорда MN делится точкой A на отрезке равные 1 см и 15 см . На какие отрезки точки A делит хорду KZ если длина KZ в 2 раза меньше длины MN ?

помогите мне пожалуйста ))))

Давайте разберемся пошагово.

1. Условие задачи:

   • Хорда $MN$ окружности делится точкой $A$ на два отрезка: $1 \, \text{см}$ и $15 \, \text{см}$. То есть длина хорды $MN = 1 + 15 = 16 \, \text{см}$.
   • Хорда $KZ$ пересекается с хордами $MN$ в точке $A$, при этом длина хорды $KZ$ в два раза меньше длины хорды $MN$. То есть длина хорды $KZ = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \, \text{см}$.

2. Основное правило о пересечении хорд: Если две хорды пересекаются в точке на окружности, то произведение длин отрезков, на которые одна хорда делится точкой пересечения, равно произведению длин отрезков, на которые делится другая хорда. Это называется правилом о пересечении хорд.

   Формально это можно записать так:
   $(MA) \times (AN) = (KA) \times (AZ),$
   где $MA$, $AN$, $KA$, $AZ$ — это длины отрезков хорд $MN$ и $KZ$, которые образуются точкой $A$.

3. Подставим известные значения:

   • Мы знаем, что $MA = 1 \, \text{см}$ и $AN = 15 \, \text{см}$, то есть длина хорды $MN = 16 \, \text{см}$.
   • Длина хорды $KZ = 8 \, \text{см}$. Пусть точка $A$ делит хорду $KZ$ на два отрезка: $KA = x$ и $AZ = 8 - x$ (где $x$ — длина отрезка $KA$).

4. Запишем уравнение по правилу о пересечении хорд: $(1) \times (15) = x \times (8 - x).$ То есть: $15 = x \times (8 - x).$

5. Решим это уравнение: Раскроем скобки: $15 = 8x - x^2.$ Перепишем уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0.$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ($D$) равен: $D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4.$

   Тогда корни уравнения: $x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{8 \pm 2}{2}.$

   Это даёт два корня: $x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5,$ $x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3.$

6. Ответ: Таким образом, точка $A$ делит хорду $KZ$ на два отрезка: один из которых имеет длину $5 \, \text{см}$, а другой — $3 \, \text{см}$.

Ответ: точка $A$ делит хорду $KZ$ на отрезки длиной $5 \, \text{см}$ и $3 \, \text{см}$.