KO — перпендикуляр к плоскости, KM и KP — наклонные к плоскости альфа, OM и OP — проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости альфа, если KM=15 см и KP= 10√3 см.

Решение:

Дано:

• $KO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.
• $KM$ и $KP$ — наклонные к плоскости $\alpha$.
• $OM$ и $OP$ — проекции наклонных $KM$ и $KP$ соответственно.
• Длина $KM = 15 \, \text{см}$, $KP = 10\sqrt{3} \, \text{см}$.
• Сумма длин проекций: $OM + OP = 15 \, \text{см}$.

Требуется найти расстояние $KO$ от точки $K$ до плоскости $\alpha$.

Теоретическая база:

Для наклонной $KM$ (или $KP$) её длина, проекция, и перпендикуляр связаны через теорему Пифагора. Если $\alpha$ — угол между наклонной и плоскостью, то:

где $\alpha$ и $\beta$ — углы между наклонными $KM$ и $KP$ и плоскостью соответственно. Также выполняется:

Решение по шагам:

1. Обозначим проекции: Пусть $OM = x$ и $OP = y$. Тогда из условия:

   $$x + y = 15.$$

2. Используем теорему Пифагора для наклонных: Для $KM$:

   $$KO^2 + x^2 = 15^2 \quad \Rightarrow \quad KO^2 + x^2 = 225. \tag{1}$$

   Для $KP$:

   $$KO^2 + y^2 = (10\sqrt{3})^2 \quad \Rightarrow \quad KO^2 + y^2 = 300. \tag{2}$$

3. Из уравнений (1) и (2) вычтем первое из второго:

   $$(KO^2 + y^2) - (KO^2 + x^2) = 300 - 225.$$

   Упрощаем:

   $$y^2 - x^2 = 75. \tag{3}$$

4. Используем разность квадратов:

   $$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x).$$

   Подставляем $y + x = 15$:

   $$(y - x)(15) = 75 \quad \Rightarrow \quad y - x = 5.$$

5. Решаем систему для $x$ и $y$: Из $y + x = 15$ и $y - x = 5$ складываем уравнения:

   $$2y = 20 \quad \Rightarrow \quad y = 10.$$

   Подставляем $y = 10$ в $y + x = 15$:

   $$x = 5.$$

6. Найдём $KO$: Подставляем $x = 5$ в уравнение (1):

   $$KO^2 + 5^2 = 225 \quad \Rightarrow \quad KO^2 + 25 = 225.$$ $$KO^2 = 200 \quad \Rightarrow \quad KO = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}.$$

Ответ:

Расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$ равно $10\sqrt{2}$