Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Точка М удалена от каждой из сторон треугольника на 2,5. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника.

Для решения задачи, где точка $M$ удалена от каждой из сторон треугольника на $2,5$, необходимо использовать понятие о расстоянии от точки до плоскости. Давайте разберемся пошагово.

1. Основная информация

Прямоугольный треугольник имеет катеты длиной $a = 6$ и $b = 8$. Гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора:

Треугольник $ABC$ лежит в некоторой плоскости. Точка $M$ удалена на $d = 2,5$ от каждой из сторон треугольника.

2. Что означает, что точка $M$ удалена от всех сторон треугольника?

Если точка $M$ удалена на одинаковое расстояние $d$ от всех сторон треугольника, это означает, что точка $M$ находится на перпендикуляре к плоскости треугольника и является центром сферы, касающейся всех трех сторон треугольника. Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника будет равно радиусу описанной сферы.

3. Рассмотрим задачу в пространстве

Треугольник $ABC$ находится в плоскости $z = 0$, его вершины можно расположить следующим образом:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(6, 0, 0)$,
• $C(0, 8, 0)$.

Стороны треугольника:

• $AB = 6$,
• $AC = 8$,
• $BC = 10$.

4. Радиус вписанной окружности треугольника

Радиус вписанной окружности вычисляется через площадь $S$ треугольника и его полупериметр $p$.

Полупериметр:

Площадь треугольника:

Радиус вписанной окружности:

5. Положение точки $M$

Точка $M$, удалённая от каждой из сторон треугольника на $2,5$, находится за пределами плоскости треугольника, так как $2,5 > r$. Точка лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через инцентр (центр вписанной окружности) треугольника.

Координаты инцентра $I$ треугольника:

Инцентр делит медианы треугольника в отношении, равном длинам его сторон. Для прямоугольного треугольника с вершинами $A, B, C$ инцентр имеет координаты:

где $x$ и $y$ — координаты вершин.

Подставляя:

Точка $M$ будет расположена на линии, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через инцентр. Её координаты:

где $z$ — искомое расстояние.

6. Расстояние от точки $M$ до плоскости

Расстояние $z$ равно $d$, так как $M$ удалена от всех сторон на одинаковое расстояние. Таким образом:

Ответ:

Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника равно 2,5 единиц.