Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, катеты которого 6 см. и 8 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника = 12 см. Найти расстояние от точки М до вершин.

Задача заключается в нахождении расстояния от точки М до вершин прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 см и 8 см, при этом точка М равноудалена от всех вершин треугольника, а расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см.

Шаг 1. Рассмотрим треугольник и его описание.

Пусть прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle ABC = 90^\circ$, и катеты $AB = 6$ см и $BC = 8$ см. Гипотенуза $AC$ найдется по теореме Пифагора:

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 10 см.

Шаг 2. Точка М равноудалена от всех вершин треугольника.

Из условия задачи следует, что точка М равноудалена от всех вершин треугольника. Это означает, что точка М лежит в центре окружности, вписанной в треугольник. Для прямоугольного треугольника центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, и его координаты можно найти по следующим формулам для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$:

где $r$ — радиус вписанной окружности, а $a, b, c$ — длины катетов и гипотенузы.

В данном случае $a = 6$ см, $b = 8$ см и $c = 10$ см, поэтому радиус окружности:

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2 см. Центр окружности (точка М) лежит на расстоянии 2 см от каждой из вершин треугольника.

Шаг 3. Определение расстояния от точки М до плоскости треугольника.

У нас также дано, что расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см. Это означает, что точка М лежит на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника, на высоте 12 см от нее.

Шаг 4. Расстояние от точки М до вершин.

Поскольку точка М равноудалена от всех вершин треугольника, она является центром окружности, вписанной в треугольник, и расстояние от точки М до каждой из вершин равно радиусу этой окружности. Из предыдущего шага мы вычислили, что радиус вписанной окружности равен 2 см.

Таким образом, расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника равно 2 см.

Ответ:

Расстояние от точки М до вершин треугольника составляет 2 см.