На стороне BC,прямоугольника ABCD отмечена точка K так,что BK:KC=3:4.Выразите векторы AK и DK через векторы a=AB и b=AD

Решение:

Рассмотрим задачу, где нужно выразить векторы $\vec{AK}$ и $\vec{DK}$ через $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

1. Задание и вводные данные

• Прямоугольник $ABCD$:
  • $\vec{AB} = \vec{a}$
  • $\vec{AD} = \vec{b}$
• Точка $K$ лежит на стороне $BC$, и известно отношение $BK:KC = 3:4$.

Из условия видно, что точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $3:4$. Это означает, что $BK = \frac{3}{7}BC$, а $KC = \frac{4}{7}BC$, где $BC = \vec{a}$, поскольку $BC$ параллельна и равна $AB$ в прямоугольнике.

2. Координаты точки $K$

Чтобы выразить векторы $\vec{AK}$ и $\vec{DK}$, найдем координаты точки $K$:

• Точка $B$ имеет координаты $(a, 0)$, если $A = (0, 0)$.
• Точка $C$ имеет координаты $(a, b)$.
• Поскольку точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении $3:4$, её координаты находятся по формуле деления отрезка: $$K = \left(\frac{4a + 3a}{7}, \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot b}{7}\right) = \left(\frac{7a}{7}, \frac{3b}{7}\right).$$ Следовательно, координаты $K$ равны: $$K = (a, \frac{3b}{7}).$$

3. Вектор $\vec{AK}$

Вектор $\vec{AK}$ определяется как разность координат точки $K$ и точки $A$:

Вектор в декартовой системе координат равен: