Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC, перпендикулярна его медиане CM и делит её пополам. Найдите сторону AC, если AB=18см

Давайте разберём задачу подробно.

Условие:

1. У нас есть треугольник $\triangle ABC$.
2. Прямая, проведённая через вершину $A$, перпендикулярна медиане $CM$.
3. Эта прямая делит медиану $CM$ пополам.
4. Известно, что $AB = 18$ см.
5. Нужно найти сторону $AC$.

Шаги решения:

1. Обозначения:

   • $M$ — середина стороны $AB$, так как $CM$ — медиана.
   • Пусть $AC = x$, а основание $BC = a$.
   • Точка $O$ — середина медианы $CM$, так как прямая делит её пополам.

2. Анализ геометрической ситуации: Прямая через вершину $A$, которая перпендикулярна $CM$, делит медиану пополам. Это означает, что точка $O$ — центр симметрии для треугольника $\triangle ABC$, что также указывает на определённые равенства сторон.

3. Использование свойств медианы и прямоугольного треугольника:

   • Так как $CM$ является медианой, её длина находится по формуле: $$CM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}}$$
   • Условие задачи гласит, что медиана $CM$ делится пополам в точке $O$, а прямая через $A$ перпендикулярна $CM$. Это создаёт два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $AC$ и катетами, связанными с медианой и её половиной.

4. Подстановка данных: Подставим известное значение $AB = 18$ в формулу для медианы $CM$. Пусть $AC = x$, а $BC = a$:

   $$CM = \sqrt{\frac{2(18^2) + 2x^2 - a^2}{4}}$$

5. Симметрия и равенства: Так как точка $O$ делит $CM$ пополам, равенство сторон и прямоугольная структура позволяют выразить $a$ и $x$ через соотношения треугольников. Мы знаем, что:

   • $AO$ — высота в треугольнике, и $AC^2 = AO^2 + OC^2$, где $OC = \frac{CM}{2}$.

6. Вычисления: Расчёты упрощаются при подстановке конкретных значений. В данном случае, симметрия треугольника показывает, что $AC$ равняется $AB$, так как точка деления медианы указывает на равенство сторон.

Ответ: