Периметр треугольника АВС, описанного около окружности ,равен 52 см.точка касания со стороной АВ делит эту сторону в соотношении 2:3 ,считая от вершины А. Точка касания со стороной ВС удалена от вершины С на 6 см. Найдите стороны треугольника.

СРОЧНО

Чтобы найти стороны треугольника $ABC$, опишем решение подробно:

Дано:

1. Периметр треугольника $P = 52$ см.
2. Точка касания с $AB$ делит эту сторону в отношении $2:3$ от вершины $A$.
3. Точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на $6$ см.

Решение:

1. Обозначение сторон

Пусть стороны треугольника:

• $AB = c$,
• $BC = a$,
• $CA = b$.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника как:

• $D$ на $AB$,
• $E$ на $BC$,
• $F$ на $CA$.

2. Свойства точек касания

Вписанная окружность делит стороны треугольника следующим образом:

• $AD = \frac{2}{5}c$ и $DB = \frac{3}{5}c$ (соотношение $2:3$ от точки касания $D$),
• $CE = 6$ (по условию),
• $EB = a - 6$ (так как длина всей стороны $BC = a$).

3. Свойство вписанной окружности

Сумма отрезков, на которые точки касания делят стороны, равна полупериметру ($s$) треугольника:

где $s = \frac{P}{2} = \frac{52}{2} = 26$.

Так как отрезки равны:

• $AD + DB = c$,
• $CE + EB = a$,
• $FB + AF = b$, то можем выразить $FB$ через $b$ и другие стороны.

4. Система уравнений

Используем полупериметр и выражения отрезков:

Подставляем:

Упростим:

Следовательно:

Теперь найдём другие стороны $c$ и $a$ через уравнения:

1. $P = a + b + c = 52$, где $b = 20$, поэтому:

   $$a + c = 32.$$

2. Для $BC$ известно:

   $$a = CE + EB = 6 + (a - 6) = a.$$

Подставляем значения в уравнение $a + c = 32$ и учитываем пропорции для $c$.

5. Ответ

После решения системы уравнений окончательно: