Треугольник абс- равнобедренный. Уравнения боковых сторон 3x+y=0 и -x+3y=0. Точка (5;0) лежит на основании. Найти координаты вершин треугольника

Давайте разберемся с задачей пошагово:

Дано:

1. Треугольник $ABC$ равнобедренный.
2. Уравнения боковых сторон:
   • Первая сторона: $3x + y = 0$
   • Вторая сторона: $-x + 3y = 0$
3. Точка $(5, 0)$ лежит на основании треугольника.

Нужно найти координаты всех вершин треугольника.

Шаг 1: Найдем вершину треугольника

Так как треугольник равнобедренный, вершина $A$ лежит на пересечении двух боковых сторон. Найдем точку пересечения прямых $3x + y = 0$ и $-x + 3y = 0$.

Решим систему уравнений:

Выразим $y$ из первого уравнения:

Подставим $y = -3x$ во второе уравнение:

Подставим $x = 0$ в выражение для $y$:

Таким образом, вершина $A$ имеет координаты:

Шаг 2: Уравнение основания

Точка $(5, 0)$ лежит на основании треугольника. Основание является отрезком между точками пересечения боковых сторон с прямой, проходящей через $(5, 0)$.

Уравнение основания

Основание равноудалено от боковых сторон, так как треугольник равнобедренный. Уравнение прямой основания параллельно линии симметрии треугольника. Линия симметрии равнобедренного треугольника является биссектрисой угла $A$. Уравнение биссектрисы найдем следующим образом.

Направляющие углы боковых сторон:

• Для прямой $3x + y = 0$: угол наклона $k_1 = -\frac{3}{1} = -3$
• Для прямой $-x + 3y = 0$: угол наклона $k_2 = \frac{1}{3}$

Биссектриса угла находится под средним углом между наклонами:

Уравнение биссектрисы:

Основание $BC$ перпендикулярно биссектрисе, поэтому его наклон будет обратным и противоположным:

Уравнение основания:

Шаг 3: Найдем точки пересечения основания с боковыми сторонами

Для этого решим систему уравнений боковых сторон с уравнением основания.

1. Пересечение с $3x + y = 0$:

Подставим $y = \frac{3}{4}x - \frac{15}{4}$ в $3x + y = 0$: