ABCD параллелограмм DK:KB= 1:3 выразите векторы AK и KB через векторы AD=a и AB=b

Для того чтобы выразить векторы AK и KB через векторы AD = a и AB = b, давайте пошагово разберём задачу.

У нас есть параллелограмм ABCD. Параллелограммы обладают свойством, что противоположные стороны равны и параллельны, то есть:

1. AD = BC = a
2. AB = CD = b

Точка K делит отрезок DB в отношении DK:KB = 1:3, то есть точка K лежит на отрезке DB, деля его в указанном соотношении. Нам нужно выразить векторы AK и KB через векторы AD = a и AB = b.

Шаг 1: Найдём вектор DB

Параллелограмм имеет следующее свойство: противоположные стороны равны и параллельны. Т.е. вектор DB можно выразить через векторы AD и AB. Для этого рассмотрим путь от точки D до точки B:

• От точки D до точки A можно пройти по вектору AD = a.
• От точки A до точки B можно пройти по вектору AB = b.

Таким образом, вектор DB можно записать как сумму этих двух векторов:

Шаг 2: Используем соотношение DK:KB = 1:3

Точка K делит отрезок DB в отношении 1:3. Это означает, что точка K находится на отрезке DB, и её положение можно выразить с помощью параметрического представления отрезка. Векторы, отстоящие от D до K и от K до B, пропорциональны расстояниям на отрезке.

Пусть вектор DK равен $\lambda \cdot DB$, где $\lambda$ — коэффициент, который определяет, насколько далеко точка K от точки D по отрезку DB. Если точка делит отрезок в отношении 1:3, то это означает, что:

Значит, вектор DK будет равен:

Таким образом, вектор AK будет равен вектору AD плюс вектор DK:

Упростим это выражение:

Шаг 3: Вектор KB

Теперь найдём вектор KB. Вектор KB можно выразить как разность векторов B и K, то есть:

Подставляем выражение для DK и DB:

Приводим подобные:

Ответ:

• Вектор AK через векторы AD = a и AB = b:

• Вектор KB через векторы AD = a и AB = b: