АВСD – параллелограмм, К ∈ AB, AK: KB = 1: 3, E ∈ AD, AE:ED = 4:1 и a = AB, b = AD. Выразите векторы AE, CE и KE через векторы a и b.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства параллелограмма и пропорциональные отрезки.

1. Вектор AE: Для того, чтобы выразить вектор AE через a и b, учтем, что AE является частью стороны AD параллелограмма ABCD. Поскольку AE:ED = 4:1, то AE составляет $\frac{4}{5}$ от всей длины AD. Так как AD = b, то вектор AE = $\frac{4}{5}b$.

2. Вектор CE: Чтобы найти вектор CE, мы можем использовать то, что векторы в параллелограмме складываются по правилу параллелограмма. Вектор CE можно представить как сумму векторов CA и AE. Вектор CA - это противоположный вектору AC, который в свою очередь равен вектору AD, то есть b. Таким образом, CE = CA + AE = -b + $\frac{4}{5}b$ = $\frac{4}{5}b - b$ = $-\frac{1}{5}b$.

3. Вектор KE: Вектор KE можно выразить, зная отношение AK:KB = 1:3. Поскольку K лежит на отрезке AB, то вектор AK составляет $\frac{1}{4}$ от всего вектора AB, а вектор KB - $\frac{3}{4}$ от AB. Так как AB = a, то вектор AK = $\frac{1}{4}a$, а вектор KB = $\frac{3}{4}a$. Вектор KE можно выразить как разность векторов KE = AE - AK. Мы уже нашли, что AE = $\frac{4}{5}b$, следовательно KE = $\frac{4}{5}b - \frac{1}{4}a$.

Итак, искомые векторы через a и b выразятся так:

• AE = $\frac{4}{5}b$
• CE = $-\frac{1}{5}b$
• KE = $\frac{4}{5}b - \frac{1}{4}a$