Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к равным сторонам, равны.
10 баллов

Для того чтобы доказать, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к равным сторонам, равны, давайте внимательно рассмотрим свойства этого треугольника.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$ — это равные стороны, а $BC$ — основание. Мы должны доказать, что высоты, проведённые из вершин $B$ и $C$ к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, равны.

Шаг 1. Обозначения и введение высот

Обозначим:

• $h_B$ — высота, проведённая из вершины $B$ к стороне $AC$,
• $h_C$ — высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$.

Нам нужно доказать, что $h_B = h_C$.

Шаг 2. Свойства равнобедренного треугольника

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то по определению его стороны $AB = AC$, и углы при этих сторонах также равны:

• угол $\angle ABC = \angle ACB$.

Кроме того, высоты, проведённые к равным сторонам, будут симметричны относительно оси симметрии треугольника, которая проходит через вершину $A$ и перпендикулярна основанию $BC$. Эта ось симметрии делит треугольник пополам, и также делит основание $BC$ пополам.

Шаг 3. Местоположение высот

Высоты $h_B$ и $h_C$ пересекаются на оси симметрии треугольника. Причём, поскольку треугольник симметричен относительно этой оси, высоты будут одинаковыми по величине. Это следует из того, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к равным сторонам, находятся на одной оси и имеют одинаковую длину.

Шаг 4. Использование теоремы о высоте

Можно рассматривать треугольники, образующиеся при проведении высот. Например, проведём высоту $h_B$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Этот процесс аналогичен проведению высоты $h_C$ из вершины $C$ к стороне $AB$, потому что стороны $AB$ и $AC$ равны. Из симметрии треугольника, высоты будут равны, так как их длины определяются одинаковыми условиями — обе высоты перпендикулярны и пересекаются на одной прямой.

Шаг 5. Заключение

Таким образом, из симметрии равнобедренного треугольника и равенства его сторон и углов, можно сделать вывод, что высоты, проведённые к равным сторонам, равны между собой.