ABCD - параллелограмм, O - точка пересечения диагоналей, M - середина BC, AB=a,AD=b.Выразите через векторы a и b следующие векторы: 1) AC; 2) AO; 3)BD; 4) AM.

Для решения этой задачи будем использовать векторную геометрию, рассматривая векторы на плоскости. Обозначения и условия задачи таковы:

• $ABCD$ — параллелограмм, то есть противоположные стороны равны и параллельны.
• $O$ — точка пересечения диагоналей.
• $M$ — середина стороны $BC$.
• $AB = a$, $AD = b$ — это векторы, направленные вдоль сторон параллелограмма.

Предположим, что точку $A$ будем обозначать как начало координат, а векторы $a$ и $b$ будут представлять собой стороны параллелограмма.

1) Вектор $AC$

Параллелограмм характеризуется тем, что его противоположные стороны равны и параллельны. То есть $BC \parallel AD$, а $AB \parallel CD$. Точка $C$ — это точка, противоположная точке $A$, так что можно выразить вектор $AC$ как сумму векторов $AB$ и $AD$.

Пусть $A$ — начало отсчёта, тогда:

2) Вектор $AO$

Точки $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, значит точка $O$ является серединой диагонали $AC$ и диагонали $BD$.

Поскольку $O$ — середина диагонали $AC$, вектор $AO$ будет половиной вектора $AC$:

3) Вектор $BD$

Диагональ $BD$ соединяет вершины $B$ и $D$. Для её выражения используем векторы $AB$ и $AD$. Вектор $BD$ можно выразить как разницу векторов $AD$ и $AB$ (так как $B$ — это точка, полученная сдвигом от $A$ на вектор $a$, а $D$ — сдвиг от $A$ на вектор $b$):

4) Вектор $AM$

Точка $M$ — это середина стороны $BC$, то есть $M$ делит вектор $BC$ пополам. Чтобы выразить вектор $AM$, нам нужно сначала найти вектор $BC$, который равен разности векторов $C$ и $B$.

Вектор $BC$ можно выразить через $AB$ и $AC$, так как $BC = AC - AB$:

Теперь точка $M$ — середина $BC$, то есть вектор $AM$ будет половиной вектора $AB + BC$ (то есть половина вектора $AB + b$):

Ответы:

1. $AC = a + b$
2. $AO = \frac{1}{2}(a + b)$
3. $BD = b - a$
4. $AM = \frac{1}{2}(a + b)$