В трапеции ABCD точка O — точка пересечения диагоналей (рис. 31). Отрезки OA и OD равны. Доказать, что AB = CD.

Для доказательства, что $AB = CD$ в трапеции ABCD, где $O$ — точка пересечения диагоналей, а отрезки $OA = OD$, можем воспользоваться свойствами трапеции и некоторых геометрических теорем.

1. Обозначим угол: В трапеции ABCD диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $OA = OD$ (по условию задачи).

2. Рассмотрим треугольники: Пусть $\triangle OAB$ и $\triangle ODC$ — это два треугольника, которые образуются точками пересечения диагоналей.

3. Равенство отрезков: Из условия задачи известно, что $OA = OD$, это одна из сторон в обоих треугольниках.

4. Углы при вершинах: Мы знаем, что трапеция — это четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. То есть, стороны $AB$ и $CD$ — это параллельные стороны, и угол между диагоналями в точке пересечения всегда одинаков для обеих диагоналей. То есть, $\angle OAB = \angle ODC$ и $\angle OBA = \angle ODC$.

5. Признак равенства треугольников: Используя условие $OA = OD$ и равенство углов $\angle OAB = \angle ODC$ и $\angle OBA = \angle ODC$, мы можем применить критерий равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (SSS или SAS), что даёт нам вывод о том, что треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle ODC$ равны.

6. Равенство сторон: Так как треугольники равны, то и их соответствующие стороны будут равны, то есть $AB = CD$.

Таким образом, мы доказали, что в трапеции с условием $OA = OD$ обязательно выполняется равенство сторон $AB = CD$.