В треугольнике ABC известно, что AC = 9√3 см, ∠C = 45°, ∠B = 60°. Найдите сторону AB и радиус описанной окружности.

Для решения задачи будем использовать формулы из геометрии треугольников, в частности, формулы для нахождения стороны треугольника через известные углы и стороны, а также для нахождения радиуса описанной окружности.

1. Найдем сторону $AB$ с помощью теоремы синусов.

У нас есть треугольник с известными сторонами и углами: $AC = 9\sqrt{3}$ см, угол $C = 45^\circ$, угол $B = 60^\circ$.

Из теоремы синусов известно, что для любого треугольника:

где $a, b, c$ — это стороны треугольника, а $A, B, C$ — соответствующие им углы. В нашем случае:

• $a = AB$
• $b = AC = 9\sqrt{3}$
• $C = 45^\circ$
• $B = 60^\circ$

Зная углы $C$ и $B$, можно найти угол $A$ как:

Теперь, используя теорему синусов для стороны $AB$, получаем:

Подставим известные значения:

Упростим выражение:

Таким образом, сторона $AB = 9\sqrt{2}$ см.

2. Найдем радиус описанной окружности.

Радиус $R$ описанной окружности для треугольника можно найти по формуле:

где $a = AB = 9\sqrt{2}$, а $A = 75^\circ$.

Подставляем значения:

Значение $\sin 75^\circ$ можно выразить через таблицу значений или через формулы для синуса суммы углов:

Используя значения $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$