В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для решения задачи найдем радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника, где боковые стороны равны $a = 10$ см, а основание $b = 8$ см. Биссектриса, проведенная к основанию, равна $l = 8$ см.

1. Определение радиуса вписанной окружности ($r$):

Радиус вписанной окружности определяется формулой:

где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр.

Шаг 1. Найдем полупериметр:

Шаг 2. Найдем площадь треугольника:

Биссектриса делит основание $b$ на две равные части: $\frac{b}{2} = 4$ см. Она также является высотой треугольника, так как опущена на основание равнобедренного треугольника.

Используем формулу площади треугольника через основание и высоту:

где $h = 8$ см. Тогда:

Шаг 3. Найдем радиус вписанной окружности:

2. Определение радиуса описанной окружности ($R$):

Радиус описанной окружности определяется формулой:

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь.

Шаг 1. Подставим известные значения:

Стороны треугольника: $a = 10$, $b = 10$, $c = 8$, площадь $S = 32$.

Шаг 2. Выполним вычисления:

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: $r \approx 2.29 \, \text{см}$.
• Радиус описанной окружности: $R = 6.25 \, \text{см}$.