6х - х² > 0 ; 3 - 2х > х. Решите неравенства.

Для того чтобы решить систему неравенств:

1. Решим первое неравенство:

   $6x - x^2 > 0$

   Перепишем его в стандартной форме:

   $-x^2 + 6x > 0$

   Умножим обе части неравенства на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

   $x^2 - 6x < 0$

   Теперь раскроем это неравенство:

   $x(x - 6) < 0$

   Найдем корни квадратного уравнения $x(x - 6) = 0$. Это даст два корня:

   $x = 0 \quad \text{и} \quad x = 6$

   Теперь определим, на каких интервалах выражение $x(x - 6)$ отрицательно. Для этого рассматриваем знаки на интервалах, разделенных корнями:

   • Для $x < 0$ (например, при $x = -1$) выражение будет положительным.

   • Для $0 < x < 6$ (например, при $x = 3$) выражение будет отрицательным.

   • Для $x > 6$ (например, при $x = 7$) выражение снова будет положительным.

   Таким образом, неравенство выполняется при $0 < x < 6$.

2. Решим второе неравенство:

   $3 - 2x > x$

   Переносим все выражения с $x$ на одну сторону:

   $3 > 3x$

   Делим обе стороны на 3 (так как делим на положительное число, знак не меняется):

   $1 > x \quad \text{или} \quad x < 1$

3. Решим систему неравенств:

   Теперь нужно найти пересечение решений двух неравенств:

   • Первое неравенство даёт решение $0 < x < 6$.

   • Второе неравенство даёт решение $x < 1$.

   Пересечение этих двух решений — это интервал $0 < x < 1$.

Ответ: Решением системы неравенств является $0 < x < 1$.