Решите уравнение \( x^3 - 3x^2 - 16x + 48 = 0 \).

Решение

1. Подбор целых корней по теореме Виета (рациональных корней).
   Возможные рациональные корни многочлена

   $$f(x)=x^{3}-3x^{2}-16x+48$$

   — это делители свободного члена ±48:
   $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm16,\pm24,\pm48$.

2. Проверка подходящих значений.
   Подставим $x=3$:

   $$f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}-16\cdot3+48 =27-27-48+48=0.$$

   Значит, $x=3$ — корень, а $(x-3)$ — делитель многочлена.

3. Деление многочлена на $(x-3)$.
   Синтетическое деление (коэффициенты $1,\;-3,\;-16,\;48$):

   	3
   1		1
   	3
   –3		0
   	0
   –16		–16
   	–48
   48		0

   Частное равно $x^{2}-16$.

4. Факторизация и нахождение остальных корней.

   $$x^{3}-3x^{2}-16x+48=(x-3)(x^{2}-16)=(x-3)(x-4)(x+4).$$

   Отсюда:

   $$x-3=0 \;\Longrightarrow\; x_{1}=3,\\ x-4=0 \;\Longrightarrow\; x_{2}=4,\\ x+4=0 \;\Longrightarrow\; x_{3}=-4.$$

Ответ: $\;x=\boxed{-4,\;3,\;4}$.