Докажите, что если а/b=с/d, то: a)(a+c):(b+d)=c/d б)a/b=(a+c):(b+d)

Пусть $a,b,c,d\in\mathbb R$, причём $b\neq0,\;d\neq0$ и $b+d\neq0$.
Из условия

следует равенство перекрёстных произведений

а) Доказать, что $\displaystyle\frac{a+c}{\,b+d\,}=\frac{c}{d}$.

Покажем, что обе стороны равны, приведя их к равному произведению.

Раскроем скобки:

Слагаемые $cd$ взаимно уничтожаются, остаётся

что верно по (2). Следовательно, равенство а) доказано.

б) Доказать, что $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a+c}{\,b+d\,}$.

Аналогично:

Раскрываем скобки:

Слагаемые $ab$ сокращаются, остаётся

что опять совпадает с условием (2). Следовательно, равенство б) тоже выполнено.

Итог

Из исходного соотношения $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ автоматически следует, что дробь, полученная прибавлением числителей и знаменателей, остаётся равной обеим данным дробям:

Условие $b+d\neq0$ гарантирует, что новая дробь определена.