Докажите, что два равносторонних треугольника подобны. Объясните на уровне 8-го класса.

Чтобы доказать, что два равносторонних треугольника подобны, давай разберёмся, что это вообще значит.

Что значит "равносторонний треугольник"?

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны, и, самое главное, все три угла тоже равны. А раз сумма всех углов в любом треугольнике — 180°, то в равностороннем каждый угол равен:

$\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Значит, в любом равностороннем треугольнике все углы по 60°.

Что значит "треугольники подобны"?

Два треугольника называются подобными, если:

1. Все углы одного треугольника равны соответствующим углам другого, и

2. Отношения соответствующих сторон одинаковы (то есть стороны пропорциональны).

Почему равносторонние треугольники всегда подобны?

1. Все углы одинаковые: как мы уже сказали, в любом равностороннем треугольнике углы по 60°. Значит, если у нас есть два равносторонних треугольника, то у них точно все углы равны.

2. Стороны пропорциональны: допустим, один треугольник имеет стороны по 3 см, а другой — по 6 см. Тогда:

   • Отношение сторон: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

   • Все три стороны одного треугольника будут в таком же отношении к соответствующим сторонам другого. Это и есть признак подобия.

Вывод:

Два равносторонних треугольника всегда подобны, потому что:

• у них одинаковые углы (по 60°),

• их стороны находятся в одинаковом отношении (пропорциональны).

Это можно считать доказательством на уровне 8-го класса.