Упростить sin^4x+cos^4x

Для упрощения выражения $\sin^4 x + \cos^4 x$ можно воспользоваться алгебраическими преобразованиями. Давайте рассмотрим пошагово.

1. Используем формулу для разности квадратов.
   Выражение $\sin^4 x + \cos^4 x$ можно преобразовать как сумму квадратов:

   $$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2$$

   Это выражение напоминает стандартную формулу для разности квадратов $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$, применим её:

   $$(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

2. Используем известное тригонометрическое тождество.
   Известно, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Подставим это в уравнение:

   $$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 = 1$$

   Таким образом, получаем:

   $$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

3. Используем ещё одно тригонометрическое тождество.
   Мы знаем, что $\sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1}{4} \sin^2 2x\right)$ (формула удвоенного угла для синуса). Подставим это:

   $$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$$

Итак, выражение $\sin^4 x + \cos^4 x$ упрощается до $1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.