Найти область значений функции y=4x-x².

Для нахождения области значений функции $y = 4x - x^2$, необходимо изучить поведение функции и найти все возможные значения $y$, которые она может принимать для различных значений $x$.

1. Перепишем функцию в более удобной форме:
   $y = -x^2 + 4x$. Это квадратичная функция, и её график представляет собой параболу, которая открывается вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.

2. Найдем вершину параболы:
   Для нахождения вершины параболы используем формулу для координаты вершины квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Координата вершины по оси $x$ вычисляется как:

   $$x_{\text{вершина}} = \frac{-b}{2a}$$

   В нашей функции $a = -1$, $b = 4$, следовательно:

   $$x_{\text{вершина}} = \frac{-4}{2 \times (-1)} = 2$$

3. Найдем значение функции в вершине:
   Подставляем $x = 2$ в исходную функцию:

   $$y = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$$

   То есть, вершина параболы имеет координаты $(2, 4)$.

4. Анализируем область значений:
   Парабола открывается вниз, и её вершина достигает максимального значения $y = 4$ при $x = 2$. Так как парабола открывается вниз, то значения $y$ будут меньше или равны 4.

Таким образом, область значений функции $y = 4x - x^2$ — это все значения $y$, которые не превышают 4. В математическом виде это записывается как:

Ответ: область значений функции $y = 4x - x^2$ — это $(-\infty, 4]$.