Решите неравенство log₅(3x + 1) > 2.

Для того чтобы решить неравенство $\log_5(3x + 1) > 2$, давайте пошагово разберем его решение.

1. Перепишем неравенство в экпоненциальной форме.
   Мы знаем, что логарифм с основанием 5 равен 2, если:

   $$\log_5 y = 2 \quad \text{означает} \quad y = 5^2 = 25.$$

   Таким образом, преобразуем неравенство:

   $$\log_5(3x + 1) > 2 \quad \Rightarrow \quad 3x + 1 > 5^2 = 25.$$

2. Решим полученное неравенство.
   Теперь нужно решить неравенство:

   $$3x + 1 > 25.$$

   Вычитаем 1 с обеих сторон:

   $$3x > 24.$$

   Делим обе стороны на 3:

   $$x > 8.$$

3. Учитываем область допустимых значений.
   Логарифм существует только для положительных чисел, а значит, аргумент $3x + 1$ должен быть больше нуля:

   $$3x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 3x > -1 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{3}.$$

4. Объединяем условия.
   Мы получили два условия:

   • $x > 8$ (из решения неравенства)

   • $x > -\frac{1}{3}$ (из области допустимых значений)

   Наибольшее ограничение — это $x > 8$, так как оно строго сильнее.

Таким образом, решение неравенства: $x > 8$.