Решите уравнение x³-5x²-x+5=0

Решим уравнение $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$.

1. Пробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Согласно теореме, возможные рациональные корни могут быть вида $\pm \frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (в данном случае 5), а $q$ — делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

   Таким образом, возможные кандидаты для корней: $\pm 1, \pm 5$.

2. Пробуем подставить $x = 1$ в исходное уравнение:

   $1^3 - 5 \cdot 1^2 - 1 + 5 = 1 - 5 - 1 + 5 = 0$.

   Значит, $x = 1$ — корень уравнения.

3. Делим многочлен на $x - 1$ с помощью деления многочленов:

   Разделим $x^3 - 5x^2 - x + 5$ на $x - 1$ с помощью синтетического деления.

   Сначала записываем коэффициенты уравнения: $1, -5, -1, 5$.

   Применяем синтетическое деление:

   $$\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -5 & -1 & 5 \\ & & 1 & -4 & -5 \\ \hline & 1 & -4 & -5 & 0 \\ \end{array}$$

   Получаем частное $x^2 - 4x - 5$ и остаток 0. Таким образом, уравнение можно записать как:

   $$(x - 1)(x^2 - 4x - 5) = 0.$$

4. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

   В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$:

   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.$$

   Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1.$$

5. Итак, корни уравнения:

   $$x = 1, \quad x = 5, \quad x = -1.$$

Ответ: $x = 1$, $x = 5$, $x = -1$.