В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tg A = 33 / (4√33). Найдите AB.

В данном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Поскольку угол $C$ прямой, то треугольник является прямоугольным, и стороны $AC$, $BC$ и гипотенуза $AB$ связаны через теорему Пифагора.

Из условия задачи мы знаем, что $AC = 4$, и также даётся значение тангенса угла $A$, то есть $\tan A = \frac{33}{4\sqrt{33}}$.

Рассмотрим, что такое тангенс угла. Тангенс угла $A$ в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$:

Подставим значение $AC = 4$ и значение $\tan A$:

Теперь умножим обе части уравнения на 4:

Упростим:

Теперь у нас есть длины двух катетов: $AC = 4$ и $BC = \sqrt{33}$. Чтобы найти гипотенузу $AB$, воспользуемся теоремой Пифагора:

Подставляем значения $AC$ и $BC$:

Теперь извлекаем квадратный корень:

Таким образом, длина гипотенузы $AB$ равна 7.