В треугольнике ABC, угол C=90°, AC=12, tgA=2√10/3. Найдите AB.

Для того чтобы найти сторону AB в прямоугольном треугольнике ABC, нужно использовать данные о треугольнике.

1. Дано:

   • Угол C = 90°.

   • AC = 12.

   • Тангенс угла A (tgA) = $\frac{2\sqrt{10}}{3}$.

2. Определим другие стороны. Мы знаем, что тангенс угла A в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

   $$\tan(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}.$$

   Подставим данные:

   $$\frac{BC}{12} = \frac{2\sqrt{10}}{3}.$$

   Отсюда находим BC:

   $$BC = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 8\sqrt{10}.$$

3. Используем теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

   Подставляем значения:

   $$AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 = 144 + 640 = 784.$$

   Теперь находим AB:

   $$AB = \sqrt{784} = 28.$$

Ответ: длина гипотенузы AB равна 28.