2 arcsin(-√3/2) + arctg(-1) + arccos(√2/2)

Для решения выражения $2 \cdot \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arctg(-1) + \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ разберем каждую из этих частей отдельно.

1. Первый элемент: $2 \cdot \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

   Вспоминаем, что $\arcsin(x)$ – это угол, синус которого равен $x$. Итак, нужно найти угол, у которого синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из тригонометрии известно, что синус угла $\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $\theta = -\frac{\pi}{3}$. Таким образом:

   $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

   Тогда $2 \cdot \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2\pi}{3}$.

2. Второй элемент: $\arctg(-1)$

   $\arctg(x)$ — это угол, тангенс которого равен $x$. Нужно найти угол, у которого тангенс равен $-1$. Из тригонометрии известно, что $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, следовательно:

   $$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

3. Третий элемент: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

   $\arccos(x)$ — это угол, косинус которого равен $x$. Нужно найти угол, у которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Из тригонометрии известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

   $$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}.$$

Теперь суммируем все найденные значения:

Преобразуем выражение:

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.