решите неравенство 6x^2-11x-2>=0

Решим неравенство $6x^2 - 11x - 2 \geq 0$.

1. Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 11x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

   Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 6$, $b = -11$, и $c = -2$.

   Подставим значения в формулу:

   $$D = (-11)^2 - 4(6)(-2) = 121 + 48 = 169$$

   Дискриминант $D = 169$, это положительное число, значит, уравнение имеет два действительных корня.

2. Найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{169}}{2(6)} = \frac{11 \pm 13}{12}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2, \quad x_2 = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

3. Запишем разложение на множители исходного выражения:
   Исходное неравенство можно представить в виде:

   $$6x^2 - 11x - 2 = 6(x - 2)\left(x + \frac{1}{6}\right)$$

4. Определим знаки выражения на интервалах, образованных корнями $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{1}{6}$.
   Неравенство имеет вид:

   $$6(x - 2)\left(x + \frac{1}{6}\right) \geq 0$$

   Рассмотрим знаки на интервалах:

   • $(-\infty, -\frac{1}{6})$

   • $(-\frac{1}{6}, 2)$

   • $(2, +\infty)$

   На каждом интервале проверим знак произведения:

   • На интервале $(-\infty, -\frac{1}{6})$: оба множителя $(x - 2)$ и $(x + \frac{1}{6})$ отрицательны, поэтому произведение положительно.

   • На интервале $(-\frac{1}{6}, 2)$: $(x - 2)$ отрицателен, а $(x + \frac{1}{6})$ положителен, поэтому произведение отрицательно.

   • На интервале $(2, +\infty)$: оба множителя $(x - 2)$ и $(x + \frac{1}{6})$ положительны, произведение положительно.

   Также, в точках $x = -\frac{1}{6}$ и $x = 2$ выражение равно нулю.

5. Итог:
   Неравенство $6x^2 - 11x - 2 \geq 0$ выполняется на интервалах:

   $$(-\infty, -\frac{1}{6}] \cup [2, +\infty)$$

   Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{6}] \cup [2, +\infty)$