Разложите на множители: а) 4х² - 9 б) 4а² + 12аb + 9b² в) 25 - 49q² г) 4х²у² - 9а⁴ д) 16а⁴ - 81 е) 1/27х³ - у³

Разложим каждое выражение на множители по правилам сокращённого умножения:

а) 4x² – 9
Это разность квадратов:
$4x² - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$.

б) 4a² + 12ab + 9b²
Это полный квадрат трёхчлена:
$4a² + 12ab + 9b² = (2a + 3b)²$.

в) 25 – 49q²
Разность квадратов:
$25 - 49q² = (5 - 7q)(5 + 7q)$.

г) 4x²y² – 9a⁴
Разность квадратов:
$4x²y² - 9a⁴ = (2xy - 3a²)(2xy + 3a²)$.

д) 16a⁴ – 81
Это тоже разность квадратов:
$16a⁴ - 81 = (4a² - 9)(4a² + 9)$.
Здесь первый множитель снова раскладывается:
$4a² - 9 = (2a - 3)(2a + 3)$.
Итого:
$16a⁴ - 81 = (2a - 3)(2a + 3)(4a² + 9)$.

е) $\frac{1}{27}x³ - y³$
Это разность кубов:
$\frac{1}{27}x³ - y³ = \left(\frac{x}{3}\right)³ - y³$.
По формуле: $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)$.
Получаем:
$\left(\frac{x}{3} - y\right)\left(\left(\frac{x}{3}\right)² + \frac{x}{3}y + y²\right)$.
Упрощаем:
$\left(\frac{x}{3} - y\right)\left(\frac{x²}{9} + \frac{xy}{3} + y²\right)$.

Окончательный ответ:
а) $(2x - 3)(2x + 3)$
б) $(2a + 3b)²$
в) $(5 - 7q)(5 + 7q)$
г) $(2xy - 3a²)(2xy + 3a²)$
д) $(2a - 3)(2a + 3)(4a² + 9)$
е) $\left(\frac{x}{3} - y\right)\left(\frac{x²}{9} + \frac{xy}{3} + y²\right)$