Решите систему уравнений x+xy+y=10 и xy-2x-2y=2

Ответы на вопрос

Отвечает Голишев Тимофей.

Для решения системы уравнений:

\begin{cases} x + xy + y = 10 \\ xy - 2x - 2y = 2 \end{cases}

начнем с того, что выразим одно из уравнений через одно из переменных.

x + xy + y = 10

Можно выделить общий множитель:

x + y + xy = 10 \quad \Rightarrow \quad x + y + xy = 10 \quad \text{(не изменилось)}

Теперь займемся вторым уравнением:

xy - 2x - 2y = 2

Попробуем выразить $xy$ из второго уравнения:

xy = 2x + 2y + 2

Теперь подставим это выражение для $xy$ в первое уравнение. Подставляем:

x + y + (2x + 2y + 2) = 10

Упростим:

x + y + 2x + 2y + 2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 3x + 3y + 2 = 10

3x + 3y = 8

x + y = \frac{8}{3}

Теперь подставим это значение $x + y = \frac{8}{3}$ в выражение для $xy$ :

xy = 2x + 2y + 2

Используем $x + y = \frac{8}{3}$ для нахождения $2x + 2y$ :

2x + 2y = 2(x + y) = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Теперь подставляем это значение в уравнение для $xy$ :

xy = \frac{16}{3} + 2 = \frac{16}{3} + \frac{6}{3} = \frac{22}{3}

Теперь у нас есть система:

\begin{cases} x + y = \frac{8}{3} \\ xy = \frac{22}{3} \end{cases}

Решим эту систему как квадратное уравнение. Пусть $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения:

t^2 - (x + y)t + xy = 0

Подставим значения $x + y = \frac{8}{3}$ и $xy = \frac{22}{3}$ :

t^2 - \frac{8}{3}t + \frac{22}{3} = 0

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

3t^2 - 8t + 22 = 0

Решим это квадратное уравнение по формуле:

t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(22)}}{2(3)}

t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 264}}{6}

t = \frac{8 \pm \sqrt{-200}}{6}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос